Calculateur de Permutations et Combinaisons

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Calculate permutations P(n,r) and combinations C(n,r) for ordered and unordered selection, with and without repetition.

Comment calculer les permutations et les combinaisons ?

La combinatoire est la branche des mathématiques qui étudie le dénombrement des dispositions et sélections d'éléments. Les deux concepts centraux sont les arrangements/permutations (où l'ordre de disposition compte) et les combinaisons (où l'ordre n'a pas d'importance).

Pour sélectionner r = 3 éléments parmi un ensemble de n = 10 objets distincts (), sans remise, le nombre d'arrangements ordonnés est nPr = 10! / (10 - 3)! = 720. Le nombre de combinaisons non ordonnées est nCr = 10! / (3! × 7!) = 120. Avec répétition, les arrangements passent à 10³ = 1 000, tandis que les combinaisons avec répétition donnent C(10 + 3 - 1, 3) = C(12, 3) = 220.

Quelle est la différence fondamentale entre une permutation et une combinaison ?

La distinction repose sur une question clé : l'ordre de sélection modifie-t-il le résultat final ? Si oui, il s'agit d'un arrangement ou d'une permutation ; si non, il s'agit d'une combinaison.

Par exemple, attribuer les trois premières places d'une course dépend de l'ordre (Alice 1re et Bob 2e est distinct de Bob 1er et Alice 2e). En revanche, former un comité de 2 personnes parmi 5 candidats () ne dépend pas de l'ordre, donnant exactement 5C2 = 10 combinaisons contre 5P2 = 20 arrangements.

Comment fonctionnent les combinaisons avec répétition (méthode des étoiles et barres) ?

Les combinaisons avec répétition (ou multisets) dénombrent les façons de choisir r éléments parmi n catégories lorsque les éléments peuvent être choisis plusieurs fois et que l'ordre ne compte pas (par exemple choisir 4 boules de glace parmi 6 parfums).

La formule mathématique ramène ce problème à une combinaison simple par la méthode des 'étoiles et barres' : C(n + r - 1, r), transformant un problème de partition en coefficients binomiaux classiques.

Comment utiliser les factorielles et la symétrie combinatoire ?

Les factorielles croissent très vite (n! = n × (n - 1) × ... × 1). Les combinaisons jouissent d'une propriété de symétrie remarquable : choisir r objets parmi n revient exactement à en laisser (n - r) de côté, soit nCr = nC(n - r).

Pour des sélections volumineuses comme 3 éléments parmi 100 (), calculer 100C3 = 100C97 = (100 × 99 × 98) / (3 × 2 × 1) donne directement 161 700 combinaisons sans manipuler la factorielle géante 100!.

Foire aux questions

Quelle est la relation fondamentale entre nPr et nCr ?

La relation fondamentale s'écrit nPr = nCr × r!, illustrant que chaque combinaison de r éléments peut être réordonnée de r! manières différentes.

Pourquoi 0! est-il égal à 1 ?

Par convention mathématique du produit vide et par définition en combinatoire, il existe exactement une façon d'ordonner zéro objet (l'ensemble vide).

Le nombre r peut-il être supérieur à n ?

Sans répétition, r ne peut pas dépasser n (impossible de choisir 5 cartes différentes parmi 3). Avec répétition autorisée, r peut être arbitrairement grand (ex. un code PIN à 10 chiffres composé de 4 chiffres possibles : 4^10).

Le calculateur prend-il en charge les très grands nombres ?

Oui. Le moteur utilise le type arithmétique BigInt, garantissant une précision entière absolue sans arrondi ni limitation flottante.

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